Post by Admin on Nov 18, 2023 6:28:33 GMT 7
BABAK 1
Bagian A
Bagian B
Bagian A
No | Soal | Kunci Jawaban | Diskusi |
| 1 | Tentukan banyaknya bilangan 3 digit yang merupakan bilangan kuadrat sempurna serta jumlah digit-digitnya kurang dari 10. | 7 | LINK |
| 2 | Jika diketahui $x + \frac1y= 11$ dan $x^2 + \frac1{y^2} = 65$, maka $xy + \frac1{xy} = \frac{m}n$ di mana $m$ dan $n$ adalah bilangan asli yang relatif prima. Tentukan nilai dari $m + n$. | 93 | LINK |
| 3 | Andi bermain dengan melempar sebuah dadu adil bersisi enam yang dilabeli angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, 6 secara berulang. Ia dinyatakan kalah ketika angka yang muncul pada suatu pelemparan sama dengan angka yang muncul pada satu pelemparan sebelumnya. Jika peluang Andi belum kalah setelah 4 kali pelemparan adalah $\frac{m}n$, di mana $m$ dan $n$ adalah bilangan asli yang relatif prima, tentukan nilai dari $m+n$. | 341 | LINK |
| 4 | Diberikan sebuah persegi $ABCD$ dengan titik $P$ dan $Q$ berturut-turut di dalam segmen $AB$ dan $CD$, sedangkan $M$ adalah titik tengah $BC$. Jika diketahui bahwa $$\left[PBM\right]:\left[QCM\right]:\left[APQD\right]=1:2:3$$ maka $\left[PMQ\right]:\left[ABCD\right]=m:n$, di mana $m$ dan $n$ adalah bilangan asli yang relatif prima, tentukan nilai dari $m+n$. | 4 | LINK |
| 5 | Diberikan sebuah sistem persamaan dengan $x, y \in\mathbb{R}$ \begin{aligned}x^4+3y&=y^4+y\\x^2-y^2&=2\end{aligned} Jika jumlah semua $x$ yang memenuhi adalah $S$, tentukan nilai dari $\left\lfloor|S|\right\rfloor$. | 2 | LINK |
| 6 | Diberikan segilima beraturan $ABCDE$. Titik $F$ terletak di dalam segmen $AB$ sehingga $AC = AE + AF$. Tentukan besar sudut $\angle ACF$. | 18 | LINK |
| 7 | Untuk setiap bilangan asli $N$, definisikan $f(N)$ sebagai bilangan kuadrat terdekat dengan $N$. Sebagai contoh, $f(4) = 4$, $f(6) = 4$ (karena $|6 - 4| = 2 \lt 3 = |6 - 9|$), dan $f(7) = 9$. Tentukan banyaknya bilangan asli $N \leq 400$ yang memenuhi $\gcd\left(f(N), N\right) = 1$. | 248 | LINK |
| 8 | Dalam negeri fantasi KTOM, jam tidur seseorang pada suatu malam diukur dengan sebuah bilangan bulat dari 0 sampai 20. Total jam tidur malam minimal dalam 4 malam berturut-turut yang direkomendasikan oleh dokter adalah 20 jam. Ariel ingin memenuhi target tepat 20 jam tidur dalam 4 malam. Ariel bisa mengendalikan jam tidurnya sesuka hati namun dengan syarat berikut: jika ia sudah tertidur lebih dari 1 jam, ia pasti akan tertidur pulas dan mencapai jam tidur setidaknya 4 jam. Tentukan banyaknya cara ia dapat mengatur jam tidurnya dalam 4 malam tersebut. | 679 | LINK |
| 9 | Diberikan sebuah polinom $P(x) = x^3 - 3x - 1$ yang memiliki akar-akar kompleks berbeda $a$, $b$, $c$. Tentukan nilai dari $$\left|\frac{a}{b(a+b)}+\frac{b}{c(b+c)}+\frac{c}{a(c+a)}\right|.$$ | 6 | LINK |
| 10 | Diberikan fungsi $\Omega(n)$ yang menyatakan hasil penjumlahan dari eksponen-eksponen setiap prima dalam faktorisasi prima $n$, di mana $n$ bilangan asli (dengan kata lain, $\Omega(n) = \sum_{p\text{ prima}} \nu_p(n)$), dan $\Omega(1) = 0$. Sebagai contoh, $\Omega(30) = 3$ dan $\Omega(48) = 5$. Tentukan nilai dari $$S=\sum_{n=1}^{2023}(-1)^{\Omega(n)}\left\lfloor\frac{2023}n\right\rfloor.$$ | 44 | LINK |
Bagian B
No | Soal | Diskusi |
| 1 | Diberikan segitiga lancip $ABC$ dengan $H$ merupakan perpotongan ketiga garis tingginya. Misalkan $D$ dan $E$ sedemikian sehingga $BCAE$ dan $BCHD$ keduanya jajar genjang. Tunjukkan bahwa $\angle EDH = \angle EBH = 90°$. | LINK |
| 2 | Diberikan sebuah himpunan $S = \{1, 2, 3, ..., 9\}$. Tentukan nilai $n$ terkecil sehingga, untuk setiap $n$ himpunan bagian berbeda $A_1$, $A_2$, ..., $A_n$ masing-masing berisikan 3 anggota, selalu terdapat dua bilangan berbeda $p, q \in S$ dan dua indeks $i, j \in \{1, 2, ..., n\}$ sehingga $\{p, q\}$ adalah subhimpunan dari $A_i$ dan $A_j$. | LINK |